Dr.FAQIR - Die Konstruktion der Algebra - Softwarelösungen Dr. Oberbeil

R	Mit R bezeichnen wir den Körper der reellen Zahlen
Q	Mit Q bezeichnen wir den Körper der rationalen Zahlen
E	Mit E geben wir eine Erweiterung von Q vom Grad 3 an
A	Mittels E wird eine Algebra A vom Grad 9 über Q so konstruiert, dass A keine Nullteiler besitzt, was gleichbedeutend damit ist, dass A eine Divisionsalgebra ist.

Zur Konstruktion von E definieren wir
u := 2 cos (2 π / 7) ∈ R
v := 2 cos (4 π / 7) ∈ R es folgt v = u² – 2
w := 2 cos (6 π / 7) ∈ R es folgt w = –u² – u + 1

E : Q(u) ist ein Körper, der wegen u³ = –u² + 2u + 1 die Dimension 3 über Q hat.
Ebenso wie die Elemente 1, u, u² bilden auch u, v, w eine Basis von E über Q.
Wir können jedes a ∈ E folgendermassen darstellen: a = α + βu + γu² mit α, β, γ ∈ Q.

Für die Konstruktion von A benötigen wir des weiteren ein Symbol j, das in E nicht vorkommt und die Q-lineare Abbildung σ von E auf E: σ: α + βu + γu² -> α + βσ(u) + γσ(u)²

Zur Konstruktion von A nehmen wir ein γ aus Q\N(E) und definieren: A := α + β u + δ u² + ε j + ζ uj + η u²j + κ j² + λ uj² + μ u²j² mit α, β, δ, ε, ζ, η,κ, λ, μ ∈ Q.
Addition, Multiplikation sowie die Inversenbildung sind im folgenden dargestellt.
Aus der Multiplikation ergibt sich: j³ = γ
A ist ein Ring mit E C A. In A gelten die Distributiv- und Assoziativgesetze aber A ist nicht kommutativ.